अध्याय-8: परिमेय संख्याएँ

परिमेय संख्याएँ

परिमेय संख्याएं वे संख्या होती हैं जिन्हें हम pq

 के रूप में लिख सकते हैं। यहाँ अंश एवं हर दोनों संख्याएं पूर्णांक होती हैं एवं परिमेय संख्या का हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। परिमेय संख्या में p – अंश होता है एवं q – हर होता है।

उदाहरण:

34,25 आदि।

धनात्मक परिमेय संख्याए

ऐसी परिमेय संख्या जिसके अंश और हर दोनों ही धनात्मक पूर्णांक हैं। ऐसी परिमेय संख्या को एक धनात्मक परिमेय संख्या कहते हैं। जैसे: 38,57,29 सभी धनात्मक परिमेय संख्यायें हैं।

ऋणात्मक परिमेय संख्याए

ऐसी परिमेय संख्या जिसके अंश और हर दोनों में से कोई एक ऋणात्मक पूर्णांक हैं। ऐसी परिमेय संख्या को एक ऋणात्मक परिमेय संख्या कहते हैं। जैसे: –38, –57,2-9 सभी ऋणात्मक परिमेय संख्यायें हैं।

मानक रूप तथा समतुल्य परिमेय

समतुल्य परिमेय संख्याए

ऐसी परिमेय संख्याएँ जो परस्पर बराबर हों एक दूसरे के समतुल्य या तुल्य कही जाती है। अर्थात आपस में बराबर परिमेय संख्याएँ समतुल्य परिमेय संख्या या तुल्य परिमेय संख्या कही जाती हैं।

उदाहरण:

23=46=812 आदि

मानक रूप में परिमेय संख्याएँ

एक परिमेय संख्या मानक रूप में व्यक्त की हुई कही जाती है, यदि उसका हर धनात्मक पूर्णांक हो तथा उसके अंश और हर में 1 के अतिरिक्त कोई सार्व गुणनखंड न हो।

उदाहरण: 4530

 को मानक रूप में व्यक्त करने के लिए

45÷330÷3

=1520

=15÷510÷5

=32

परिमेय संखाओं सम्बंधी मुख्य अवधारणाएं और परिणाम

1. एक संख्या जिसे pq के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0, एक परिमेय संख्या कहलाती है।
2. सभी पूर्णांक और भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं।
3. यदि एक परिमेय संख्या के अंश और हर को गुणा किया जाता है या एक शून्येतर पूर्णांक से भाग देने पर हमें एक परिमेय संख्या प्राप्त होती है जो दी गई परिमेय संख्या के बराबर होती है।
4. परिमेय संख्याओं को धनात्मक, शून्य या ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। जब अंश और हर दोनों धनात्मक पूर्णांक हों या दोनों ऋणात्मक पूर्णांक हैं, तो यह एक धनात्मक परिमेय संख्या है। जब अंश या हर एक ऋणात्मक पूर्णांक हो, यह एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है।
5. संख्या 0 न तो धनात्मक और न ही ऋणात्मक परिमेय संख्या है।
6. दो परिमेय संख्याओं के बीच असीमित संख्या में परिमेय संख्याएँ होती हैं।
7. एक परिमेय संख्या को मानक रूप में कहा जाता है, यदि उसका हर एक धनात्मक पूर्णांक है और अंश और भाजक का 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
8. समान हर वाली दो परिमेय संख्याओं को जोड़ा जा सकता है एक ही हर के साथ रखते हुए, उनके अंशों को जोड़ते हैं।

परिमेय संख्याओं के नियम

1. अलग हर वाली दो परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए दो हरों का LCM लेना और फिर दोनों को परिवर्तित करना परिमेय संख्याएं उनके समकक्ष रूपों में LCM के रूप में होती हैं भाजक और उन्हें ऊपर के रूप में जोड़ना।
2. दो परिमेय संख्याओं को घटाते समय, हम योगात्मक प्रतिलोम जोड़ते हैं परिमेय संख्या को दूसरी परिमेय संख्या से घटाया जाता है।
3. परिमेय संख्याओं का गुणनफल =अंशों का गुणनफलहर का गुणनफल
4. एक शून्येतर परिमेय संख्या  pq का व्युत्क्रम qp है
5. एक परिमेय संख्या को दूसरी गैर-शून्य परिमेय संख्या से विभाजित करने के लिए, हम पहली परिमेय संख्या को दूसरे के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं।

परिचय

1 2 3 4 5 6……….. प्राकृतिक संख्याएं।

 0 1 2 3 4 5……….. पूर्ण संख्याएं

 ……… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 पूर्णांक 

परिमेय संख्याएं

अंशहर

उद्देश्य

इस पाठ के अंत में आप निम्न करने में सक्षम हो जाएंगेः ।

• परिमेय संख्याओं को परिभाषित करना।
• समान परिमेय संख्याओं को लिखना।
• परिमेय सुख्याओं की तुलना करना। 
• परिमेय संख्याओं को उनके मानक स्वरूप में परिवर्तित करना। 
• परिमेय संख्याओं का जोड़, व्यवकलन, गुणन और भाग करना।

परिमेय संख्या की परिभाषा

p : q (q≠0)

=pq

परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे pq के रूप में लिखा जा सकता है,

जहां p और q दोनों पूर्ण संख्यां हैं और q शून्य नहीं है।

अंश और हर

-5 एक परिमेय संख्या है।

-51

0 एक परिमेय संख्या है।

02या07

धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याएं

ऋणात्मक परिमेय 

-4 ऋणात्मक पूर्णांक

7  धनात्मक पूर्णांक

धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याएं

मानक रूप

किसी परिमेय संख्या के उस रूप को मानक कहते हैं जिसमें इसके अंश और हर दोनों। धनात्मक पूर्ण संख्याएं हों और अंश एवं हर में 1 के अतिरिक्त कोई अन्य समान गुणनखण्ड न हो।

35,27,-711

-4530

45 और 30 का महत्तम समापवर्तक 15 है।

-45301515=-3 2 – मानक रूप

तुलना

जोड़

-11+75=-45

-75और-23

5 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य 15 है।

-75=-2115और-23=-1015

-75+-215=-2115+-1015=-3115

व्यवकलन

5-37=27

57–38=40-2156=1956

-2×-59=109

-3×25×7=-635

भाग

पारस्परिक

27  है 7 2

6-53-2=1810

79 है 97

-54 है 4-5

NCERT SOLUTIONS

प्रश्नावली 9.1 (पृष्ठ संख्या 199-200)

प्रश्न 1. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के बीच में पांच परिमेय संख्याएं लिखिए:

-1 और 0

-2 और -1

उत्तर-

1. -1 और 0

2. -2 और -1

4. सबसे पहले, हम एक ही भाजक के साथ संख्या बनाते हैं

सामान्य भाजक = 2 और 3 का एलसीएम

प्रश्न 2. निम्नलिखित प्रतिरूपों में से प्रत्येक में चार और परिमेय संख्याएँ लिखिए:

उत्तर-

यहां हम देख सकते हैं कि हमारा अंश 3 का गुणक है जबकि हमारा भाजक 5 का गुणक है और जैसे-जैसे हम आगे बढ़ते हैं, ये गुणक बढ़ते जा रहे हैं। तो, इस पैटर्न में हमारी अगली परिमेय संख्याएं हैं:

प्रश्न 3. निम्नलिखित के समतुल्य चार परिमेय सख्याएँ लिखिए:

उत्तर-

1. चार परिमेय संख्याएँ हैं:

2. चार परिमेय संख्याएँ हैं:

3. चार परिमेय संख्याएँ हैं:

प्रश्न 4. एक संख्या रेखा खींचिए और उस पर निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को निरूपित कीजिए:

उत्तर-

प्रश्न 5. एक संख्या रेखा पर बिन्दु P, Q, R, S, T, U, IA और B इस प्रकार हैं कि TR = RS = SU तथा AP = PQ = QB हैं। P,Q,R और S से निरूपित परिमेय संख्याओं को लिखिए।

उत्तर-

∵ AP = PQ = QB

साथ ही, 2 और 3 के बीच की दूरी को 3 बराबर भागों में बाँटा गया है, ∴ प्रत्येक 13 होगा।

इसी प्रकार – 2 और – 1 के बीच की दूरी को 3 बराबर भागों में बाँटा गया है।

∴ P द्वारा निरूपित परिमेय संख्या = 2 +13 =73

Q द्वारा निरूपित परिमेय संख्या = 2 +23 =83

R द्वारा निरूपित परिमेय संख्या = -1 –13 = –43

S द्वारा निरूपित परिमेय संख्या = -1 –23 = –53

प्रश्न 6. निम्नलिखित में से कौन-से युग्म एक ही परिमेय संख्या को निरूपित करते हैं?

उत्तर-

प्रश्न 7. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को उनके सरलतम रूप में लिखिए:

उत्तर-

प्रश्न 8. संकेतों >,< और = में से सही संकेत चुनकर रिक्त स्थानों को भरिए:

उत्तर-

प्रश्न 9. निम्नलिखित में प्रत्येक में से कौन-सी संख्या बड़ी है?

उत्तर-

प्रश्न 10. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को आरोही क्रम में लिखिए:

उत्तर-

प्रश्नावली 9.2 (पृष्ठ संख्या 206)

प्रश्न 1. योग ज्ञात कीजिए:

उत्तर-

प्रश्न 2. ज्ञात कीजिए:

उत्तर-

प्रश्न 3. गुणनफल ज्ञात कीजिए:

उत्तर-

प्रश्न 4. निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:

उत्तर-