अध्याय-9: परिमाप और क्षेत्रफल

परिमाप

किसी आकृति के सभी भुजाओं के माप को परिमाप कहते हैं। जैसे: आयत का परिमाप उसकी चारों भुजाओं के योग के बराबर होता है; वर्ग का परिमाप उसकी भुजा का चार गुना होता है, आदि। इसका मात्रक मीटर होता है।

क्षेत्रफल

बंद आकृतियों द्वारा घेरे गए तल के परिमाण को उसका क्षेत्रफल कहते हैं। जैसे किसी वर्गाकार आकृति का क्षेत्रफल उसकी भुजा का वर्ग होता है। इसका मात्रक मीटर ² होता है।.

परिमाप और क्षेत्रफल सम्बंधी मुख्य अवधारणाएं और परिणाम

1. एक बंद आकृति का परिमाप उसके चारों ओर की दूरी है जबकि क्षेत्रफल है इससे घिरे हुए समतल या क्षेत्र के भाग का माप।
2. एक नियमित बहुभुज का परिमाप = भुजाओं की संख्या × एक की लंबाई पक्ष।
3. एक वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा
4. आयत का परिमाप = 2(l + b), जहाँ, l आयत की भुजा की लम्बाई तथा b भुजा की चौड़ाई है।
5. वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
6. आयत का क्षेत्रफल = l × b
7. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h
8. त्रिभुज का क्षेत्रफल = 12 × (b × h)
9. एक वृत्त के चारों ओर की दूरी को उसकी परिधि के रूप में जाना जाता है।
10. वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात एक अचर है और (π) द्वारा निरूपित किया जाता है।
11. π का अनुमानित मान 227 या 3.14 के रूप में लिया जाता हैI
12. r त्रिज्या वाले एक वृत्त की परिधि 2πr होती है।
13. त्रिज्या r वाले एक वृत्त का क्षेत्रफल πr² है।

चतुर्भुज और त्रिभुज

आयत के भाग के रूप में त्रिभुज

आयत को विकर्ण के अनुदिश ऐसा काटिए जिससे दो त्रिभुज प्राप्त हों दोनों त्रिभुज सर्वान्गसम हैं तथा एक त्रिभुज का क्षेत्रफल दूसरे के बराबर हैं। जो कि आयत के आधे के बराबर है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल =12 x आयत का क्षेत्रफल

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

समांतर चतुर्भुज की विपरीत या सम्मुख भुजाओं की लंबाई समान होती है। समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों की माप समान होती है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल इसके किसी एक विकर्ण द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल का दुगुना होता है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार X ऊंचाई।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए साधारण फार्मूला 12 x आधार x ऊंचाई

नोट: सभी सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है लेकिन यह आवश्यक नहीं है कि वे त्रिभुज जिनका क्षेत्रफल बराबर होता है वे सर्वांगसम हैं।

वृत्त तथा इकाइयों का रूपान्तरण

वृत्त

किसी एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिन्दुपथ वृत्त कहलाता है। यह निश्चित बिंदु, वृत्त का केंद्र कहलाता है। केंद्र से वृत्त की परिधि पर स्थित सभी बिन्दुओं की दूरी एकसमान होती है, जिसे वृत्त की त्रिज्या कहा जाता है।

वृत्त की परिधि की परिमाप = 2πr

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

जहाँ, r वृत्त की त्रिज्या है।

इकाइयों का रूपांतरण

आकृतियों के आकार के अनुसार उनके माप के अलग-अलग मानक प्रयुक्त होते हैं इन इकाइयों का आपस में एक सम्बन्ध है जिसे निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं:

1 मीटर = 100 सेंटीमीटर = 1000 मिलीमीटर

1000 मीटर = 1 किलोमीटर

1 सेंटीमीटर² = 100 मिलीमीटर²

1 मीटर² = 100 सेंटीमीटर x 100 सेंटीमीटर = 10,000 सेंटीमीटर²

1 हेक्टेअर = 100 मीटर x 100 मीटर = 10,000 मीटर²

परिचय

समतल ज्यामितीय आकृतियां

उद्देश्य

इस पाठ के अंत में आप निम्न करने में सक्षम हो जाएंगेः ।

• वर्गों और आयतों का परिमाप ज्ञात करना।
• वर्गों और आयतों का क्षेत्रफल ज्ञात करना।
• त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करना।
• समानांतर चतुर्भुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करना।
• एक वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल ज्ञात करना। 
• इकाइयों का रूपांतरण करना।

वर्गों और आयतों का परिमाप

वर्ग का परिमापः 

वर्ग का परिमापः = भुजा + भुजा + भुजा + भुजा

= 4 x भुजा 

= 4 x l

आयत का परिमाप

आयत का परिमाप = लंबाई + चौड़ाई + लंबाई + चौड़ा 

= 2 x लंबाई + 2 x चौड़ाई 

= 2 x l + 2 x b 

= 2 (l + b)

वर्गों और आयतों का क्षेत्रफल

वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा

= भुजा²

= l²

.

आयत का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई 

= l x b

त्रिभुज

त्रिभुज का क्षेत्रफल 

= 12 (ऊंचाई x आधार) = 1 2 (h x b)

समानांतर चतुर्भुज

समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 

= आधार x समानांतर भुजाओं के

बीच की दूरी 

= b x h

वृत्त

वृत्त की परिधि 

D = 2_r

r=d2

वृत्त की परिधि

= π × d

= π × 2r

= 2 πr

जहां

227= या 3.1428

वृत्त का क्षेत्रफल 

वृत्त का क्षेत्रफल = π x r²

r=d2

वृत्त का क्षेत्रफल =

π × d22

इकाइयों का रूपांतरण

इकाइयों का रूपांतरण

• 1 सेंमी = 10 मिमी 
• 1 मी = 100 सेंमी 
• 1 किमी = 1000 मी
• 1 हेक्टेयर = 100 मी

क्षेत्रफल में इकाइयों का रूपांतरण

1 सेंमी² = 1 सेंमी x 1 सेंमी

= 10 मिमी x 10 मिमी

= 100 मिमी²

1 मी² = 1 मी x 1 मी

= 100 सेंमी x 100 सेंमी

= 10000 सेंमी

1 किमी² = 1 किमी x 1 किमी

= 1000 मी x 1000 मी 

= 1000000 मी²

= 10000 सेंमी

1 हेक्टेयर² = 1 हेक्टेयर x 1 हेक्टेयर

= 100 मी x 100 मी 

= 10000 मी²

NCERT SOLUTIONS

प्रश्नावली 11.1 (पृष्ठ संख्या 224-225)

प्रश्न 1. एक आयताकार भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 500 m तथा 300 m हैं। ज्ञात कीजिए :

1. भूखण्ड का क्षेत्रफल
2. भूखण्ड का मूल्य, यदि 1 m का मूल्य 10000 रु. है।

उत्तर- लम्बाई = 500 m, चौड़ाई = 300 m

1. क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= (500 × 300) वर्ग m

= 150000 वर्ग m

2. 10000 प्रति m² से जमीन की कीमत . = (10000 × 150000) रु.

= 1500000000 रु.

प्रश्न 2.  एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका परिमाप 320 m है।

उत्तर- वर्गाकार पार्क का परिमाप = 320 m

∴ वर्गाकार पार्क की भुजा = 3204 m = 80 m

∴ वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल = (भुजा)²

= (80)² m²

= 6400 m²

प्रश्न 3. एक आयताकार भूखण्ड की चौड़ाई ज्ञात कीजिए यदि इसका क्षेत्रफल 440 m2 और लम्बाई 22 m हो। इसका परिमाप भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर- माना आयताकार पार्क की चौड़ाई = b है।

भूखण्ड की लम्बाई = 22 m है।

भूखण्ड का क्षेत्रफल = 440 वर्ग m

∴ भूखण्ड की चौड़ाई = 20 m

अतः, भूखण्ड का परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)

= 2(22 + 20) m

= 84 m

प्रश्न 4. एक आयताकार शीट का परिमाप 100 cm है। यदि लम्बाई 35 cm हो तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए। क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर- माना आयताकार शीट की चौड़ाई b cm है।

दिया है : लम्बाई = 35 cm और परिमाप = 100 cm है।

∴ 2(लम्बाई + चौड़ाई) = 100 इसलिए, 2(35 + b) = 100

35 + b = 50 या

b = 50 – 35 = 15 शीट की चौड़ाई = 15 cm

इसलिए, शीट का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= (35 × 15) cm

= 525 cm

प्रश्न 5. एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल एक आयताकार पार्क के बराबर है। यदि वर्गाकार पार्क की एक भुजा 60 m हो और आयताकार पार्क की लम्बाई 90 m हो तो आयताकार पार्क की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर- वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल = (भुजा)²

= (60)²m

= 3600 m²

माना आयताकार पार्क की चौड़ाई = b

क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 90 × b m²

लेकिन आयताकार पार्क का क्षेत्रफल

= वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल

90 × b = 3600

b = 360090 = 40

∴ आयताकार पार्क की चौड़ाई = 40 m

प्रश्न 6. एक तार आयत के आकार का है। इसकी लम्बाई 40 cm और चौड़ाई 22 cm है। यदि उसी तार को दुबारा मोड़कर एक वर्ग बनाया जाता है तो प्रत्येक भुजा की माप क्या होगी? यह भी ज्ञात कीजिए कि किस आकार का क्षेत्रफल अधिक होगा?

उत्तर- आयत की आकृति के तार की लम्बाई = 40 cm, चौड़ाई = 22 cm . इसका परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)

= 2(40 + 22) cm = 2 × 62 cm

= 124 cm इसका क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= (40 × 22) cm- = 880 cm

जब उसी तार से एक वर्ग बनाया जाता है। इसका परिमाप आयत के आकार के समान होगा।

∴ परिमाप = 124 cm

या 4 × भुजा = 124

या भुजा = 5 cm = 31 cm

इसका क्षेत्रफल = (31)² cm² = 961 cm²

वर्ग की भुजा की माप 31 cm है और वर्गाकार आकृति का क्षेत्रफल अधिक है।

प्रश्न 7. एक आयत का परिमाप 130 cm है। यदि आयत की चौड़ाई 30 cm हो तो आयत की लम्बाई ज्ञात कीजिए। आयत का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर- माना आयत की लम्बाई = l cm है।

लेकिन इसका परिमाप 130 cm है और चौड़ाई 30 cm है।

∴ 2(लम्बाई + चौड़ाई) = परिमाप

इसलिए, 2(l + 30) = 130

l + 30 = 65

या l = 65 – 30 – 35

∴ आयत की लम्बाई = 35 cm

आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई – चौड़ाई

= (35 × 30) cm

= 1050 cm²

प्रश्न 8. 2 m लम्बाई और 1 m चौड़ाई वाले | दरवाजे को एक दीवार में लगाया जाता है। दीवार की लम्बाई 4.5 m तथा चौड़ाई 3.6 m है। (आकृति देखें)। 20 रु. प्रति m2 की दर से दीवार पर सफेदी (whitewash) कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

उत्तर- दीवार का कुल क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= (4.5 × 3.6) m²

= 16.2 m²

दरवाजे का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= (2 × 1) m

= 2 m²

∴ दीवार का सफेदी का क्षेत्रफल = (16.2 – 2) m²

= 14.2 m²

सफेदी का खर्चा 20 रु. प्रति m² के हिसाब से

= (20 × 14.2) रु. = 284 रु.

प्रश्नावली 11.2 (पृष्ठ संख्या 232-234)

प्रश्न 1. निम्न में प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

उत्तर-

1. समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

= आधार × ऊँचाई

= (7 × 4) cm²

= 28 cm

2. समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

= आधार × ऊँचाई

= (5 × 3) cm² = 15 cm

3. समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

= आधार × ऊँचाई

= (2.5 × 3.5) cm² = 8.75 cm

4. समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

= आधार × ऊँचाई

= (5 × 4.8) cm² = 24 cm

5. समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

= आधार × ऊँचाई

= (2 × 4.4) cm² = 8.8 cm

प्रश्न 2. निम्न में प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

उत्तर-

1. त्रिभुज का क्षेत्रफल

=12 × आधार × ऊँचाई

=14×4×3cm2=6cm

2. त्रिभुज का क्षेत्रफल

=12 × आधार × ऊँचाई

=12×5×32cm2=8cm

3. त्रिभुज का क्षेत्रफल

=12 × आधार × ऊँचाई

=12×3×4cm2=6cm

4. त्रिभुज का क्षेत्रफल

=12 × आधार × ऊँचाई

=12×3×2cm2

= 3 cm²

प्रश्न 3. रिक्त स्थान का मान ज्ञात कीजिए:

उत्तर- हम जानते हैंसमान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई इसलिए रिक्त स्थान की गणना इस प्रकार है:

प्रश्न 4. रिक्त स्थानों का मान ज्ञात कीजिए:

उत्तर-

1. त्रिभुज का क्षेत्रफल =12 × (आधार × ऊँचाई)

2. त्रिभुज का क्षेत्रफल =12 × (आधार × ऊँचाई)

3. त्रिभुज का क्षेत्रफल =12 × (आधार × ऊँचाई)

प्रश्न 5. PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है (आकृति देखें)।QM शीर्ष Q से SR तक की ऊँचाई तथा QN शीर्ष से PS तक की ऊँचाई है। यदि SR = 12 cm और OM = 7.6 cm तो ज्ञात कीजिए:

1. समान्तर चतुर्भुज PORS का क्षेत्रफल
2. QN, यदि PS = 8 cm

उत्तर-

1. PQRS समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = SR × QM = (12 × 7.6) cm2 = 91.2 cm²
2. समान्तर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल

= आधार – ऊँचाई इसलिए,

PS × QN = समान्तर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल

या 8 × QN = 91.2

या QN = 91.28 cm = 11.4 cm उत्तर

प्रश्न 6. DL और BM समान्तर चतुर्भुज ABCD की क्रमशः भुजाएँ AB और AD पर लम्ब हैं ( आकृति देखें)। यदि समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 1470 cm है, AB = 35 cm और AD = 49 cm है, तो BM तथा DL की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर- समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल

= 1470 cm²

AB = 35 cm और AD = 49 cm

समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल

= AD × BM

इसलिए, 1470 = 49 × BM

या BM =147049 cm = 30 cm

समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल

– AB × DL

इसलिए, 1470 = 35 × DL

या DL =147035 cm = 42 cm

प्रश्न 7. त्रिभुज ABC,A पर समकोण है ( आकृति देखें), और AD भुजा BC पर लम्ब है। यदि AB = 5 cm, BC = 13 cm और AC = 12 cm है, तो AABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। AD की लम्बाई भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर- ΔABC, A पर समकोण है तथा AD भुजा BC पर लम्ब है, इसलिए ΔABC का क्षेत्रफल

= 30 cm

पुन: ΔABC का क्षेत्रफल

प्रश्न 8. ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC = 7.5 cm और BC = 9 cm है (आकृति देखें)। A से BC तक की ऊँचाई AD, 6 cm है। ΔABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।C से AB तक की ऊँचाई, अर्थात् CE क्या होगी?

उत्तर- ΔABC का क्षेत्रफल

प्रश्नावली 11.3 (पृष्ठ संख्या 239-240)

प्रश्न 1. निम्न त्रिज्याओं वाले वृत्तों की परिधि ज्ञात कीजिए : (π =227 लीजिए)

1. 14 cm
2. 28 mm
3. 21 cm

उत्तर- हम जानते हैं कि परिधि C और r त्रिज्या दिए हैं तो C = 2πr

1. यहाँ, r = 14 cm

∴ C = परिधि = 2πr = (2 × 227 × 14) cm

= 88 cm

2. यहाँ, r = 28 mm

∴ C = परिधि = 2πr

= [2 × 227 × 28] mm

= 176 mm

3. यहाँ, r = 21 cm

∴ C = परिधि = 2πr

= (2 × 227 × 21) cm

= 132 cm

प्रश्न 2. निम्न वृत्तों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। दिया गया है,:

1. त्रिज्या = 14 mm (π =227 लीजिए)
2. व्यास = 49 m
3. त्रिज्या = 5 cm

उत्तर-

1. यहाँ, r = 14 mm

A = क्षेत्रफल = πr²

= (227 × 14 × 14) mm²

= (22 × 2 × 14) mm²

= 616 mm²

2. यहाँ, व्यास = 49 m, इसलिए, = 492 m

∴ A = क्षेत्रफल = πr²

= 1886.5 m²

यहाँ,

r = 5 cm

A = क्षेत्रफल = πr²

= (227 × 5 × 5) cm²

= 7 cm²

प्रश्न 3. यदि एक वृत्ताकार शीट की परिधि 154 m हो तो इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए। शीट का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (π =227 लीजिए)

उत्तर- माना r वृत्त की त्रिज्या है, तब

परिधि = 154 m

या 2πr = 154 [∵ C = 2πr]

या 2 × π × r = 154

या r = 154 × 744

= 492 m = 24.5 m

वृत्ताकार शीट का क्षेत्रफल

= 1886.5 m²

प्रश्न 4. 21 m व्यास वाले एक वृत्ताकार बगीचे के चारों ओर माली बाड़ लगाना चाहता है। खरीदे जाने वाले आवश्यक रस्से की लम्बाई ज्ञात कीजिए, यदि वह 2 पूरे चक्कर की बाड़ लगाना चाहता है। 4 रु. प्रति मीटर की दर से रस्से पर व्यय ज्ञात कीजिए। (π =227 लीजिए)

उत्तर- यहाँ, r = 212 m

वृत्ताकार बगीचे की परिधि

= 2πr

= 2 ×227212 m

= (22 × 3) m

= 66 m

∴ 2 चक्कर लगाने के लिए रस्सी की आवश्यकता

= (2 × 66) m

= 132 m

4 रु. प्रति मीटर से रस्सी की कीमत

= (4 × 132) रु.

= 528 रु.

प्रश्न 5. 4 cm त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार शीट में से 3 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त को निकाल दिया जाता है। शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

उत्तर- यहाँ, बाहरी त्रिज्या, R = 4 cm भीतरी त्रिज्या, r = 3 cm शेष शीट का क्षेत्रफल

= बाहरी क्षेत्रफल – भीतरी क्षेत्रफल

= π(R² – r²)

= 3.14 (4² – 3²) cm

= 3.14 (16 – 9) cm

= 3.14² 7 cm² = 21.98 cm²

प्रश्न 6. साइमा 1.5 m व्यास वाले एक वृत्ताकार टेबल कवर के चारों ओर किनारी लगाना चाहती है। आवश्यक किनारी की लम्बाई ज्ञात कीजिए और 15 रु. प्रति मीटर की दर से किनारी लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

उत्तर- आवश्यक किनारी की लम्बाई

= वृत्ताकार टेबल की परिधि = 2πr, जहाँ r = 1.52m = 0.75 m

= (2 × 3.14 × 0.75) m

= 4.71 m

15 रु. प्रति मीटर की दर से किनारी लगाने का व्यय

= (15 × 4.71) रु.

= 70.65 रु.

प्रश्न 7. दी गई आकृति, व्यास के साथ एक अर्धवृत्त है। उसका परिमाप ज्ञात कीजिए।

उत्तर- दी गई आकृति का परिमाप

प्रश्न 8. 15 रु. प्रति वर्ग मीटर की दर से, 1.6 cm व्यास वाले एक वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह पर पॉलिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

उत्तर- वृत्ताकार टेबल की ऊपरी सतह का क्षेत्रफल

= (3.14 × 0.8 × 0.8) m²

= 2.0096 m²

15 रु. प्रति वर्ग मीटर की दर से वृत्ताकार टेबल की पॉलिश करने का व्यय

= (15 × 2.0096) रु.

= 30.144 रु.

= 30.14 रु. (लगभग)

प्रश्न 9. शाझली 44 cm लम्बाई वाला एक तार लेती है और उसे एक वृत्त के आकार में मोड़ देती है। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। यदि इसी तार को दुबारा एक वर्ग के आकार में मोड़ा जाता है, तो इसकी प्रत्येक भुजा की लम्बाई क्या होगी? कौनसी आकृति अधिक क्षेत्रफल घेरती है वृत्त या वर्ग? (π =227 लीजिए)

उत्तर- माना वृत्त की त्रिज्या r है। तब

परिधि = 2πr

और परिधि = तार की लम्बाई

इसलिए, 2πr = 44

त्रिज्या 7 cm वाले वृत्त का क्षेत्रफल

= (227 × 7 × 7)

= 154 cm²

माना वर्ग की भुजा x है।

वर्ग का परिमाप = तार की लम्बाई

इसलिए, 4x = 44

या x = 11

∴ वर्ग की भुजा = 11 cm

वर्ग का क्षेत्रफल = (11)² cm2 = 121 cm²

अतः, वृत्त अधिक क्षेत्रफल घेरता है वर्ग से।

प्रश्न 10. 14 cm त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार गत्ते की शीट में से, 3.5 cm त्रिज्या वाले दो वृत्तों को और 3 cm लम्बाई तथा 1 cm चौड़ाई वाले एक आयत को निकाल दिया जाता है (जैसा कि आकृति में दिखाया गया है ) शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π =227 लीजिए)

उत्तर- शेष शीट का क्षेत्रफल = वृत्ताकार गत्ते का क्षेत्रफल – 2 × छोटे वृत्त का क्षेत्रफल – आयत का क्षेत्रफल

= [227 × 14 × 14 – 2 × 227 × 3.5 × 3.5 – 3 × 1) cm

= (44 × 14 – 44 × 5 × 3.5 – 3) cm²

= (616 – 77 – 3) cm2 = 536 cm²

प्रश्न 11. 6 cm भुजा वाले एक वर्गाकार ऐलुमिनियम शीट के टुकड़े में से 2 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त को काट दिया जाता है। शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

उत्तर- वर्गाकार ऐलुमिनियम शीट का क्षेत्रफल

= (6)² cm² = 36 cm

वृत्ताकार काटे गए शीट का क्षेत्रफल

= (3.14 × 2x × 2) cm

= 12.56 cm²

शेष शीट का क्षेत्रफल = (36 – 12.56) cm²

= 23.44 cm²

प्रश्न 12. एक वृत्त की परिधि 31.4 cm है। वृत्त की त्रिज्या और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

उत्तर- माना वृत्त की त्रिज्या r cm है।

परिधि = 31.4 cm

इसलिए, 2πr = 31.4

या 2 × 3.14 × r = 31.4

या r = 31.42×3.14 = 5

त्रिज्या = 5 cm

वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = (3.14 × 25) cm²

= 78.5 cm²

प्रश्न 13. एक वृत्ताकार फूलों की क्यारी के चारों ओर 4 m चौड़ा पथ है तथा फूलों की क्यारी का व्यास 66 m है। इस पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

उत्तर- फूलों की क्यारी का व्यास = 66 m

∴ वृत्ताकार फूलों की क्यारी की त्रिज्या (r)

=662=33m

∴ 4 m चौड़े पथ के साथ क्यारी की त्रिज्या (r)

=662= 33m प्रश्नानुसार, पथ का क्षेत्रफल

= बड़ेवृत्त का क्षेत्रफल – छोटे वृत्त का क्षेत्रफल

प्रश्न 14. एक वृत्ताकार फूलों के बगीचे का क्षेत्रफल 314 m2 है। बगीचे के केन्द्र में एक घूमने वाला फव्वारा (sprinkler) लगाया जाता है, जो अपने चारों ओर 12 m त्रिज्या के क्षेत्रफल में पानी का छिड़काव करता है। क्या फव्वारा पूरे बगीचे में पानी का छिड़काव कर सकेगा? (π = 3.14)

उत्तर- माना फूलों के बगीचे की त्रिज्या r है।

क्षेत्रफल = 314 m²

इसलिए, πr² = 314

या 3.14 × r² = 314

या r² = 3143.14

या r² = 100

या r = 10 cm

फव्वारे द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल की त्रिज्या से बगीचे की त्रिज्या कम है। इसलिए फव्वारा पूरे बगीचे में छिड़काव कर सकेगा।

प्रश्न 15. आकृति में, अन्तः और बाह्य वृत्तों की परिधि ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

उत्तर- यहाँ, बाहरी वृत्त की त्रिज्या R = 19 m

और भीतरी वृत्त की त्रिज्या, r = (19 – 10) m = 9 m

भीतरी वृत्त की परिधि = 2πr

= (2 × 3.14 × 9) m

= 56.52 m

बाहरी वृत्त की परिधि = 2πR

= (2 × 3.14 × 19) m

= 119.32 m

प्रश्न 16. 28 m त्रिज्या वाले एक पहिए को 352 | m दूरी तय करने के लिए कितनी बार घुमाना पड़ेगा? (π = 227 लीजिए)

उत्तर- पहिए द्वारा 1 चक्कर में तय की गई दूरी

= 2πr =2 ×227 × 28 m = 176 m

352 m तय करने में चक्करों की संख्या

352176 = 2

प्रश्न 17. एक वृत्ताकार घड़ी की मिनट की सई की लम्बाई 15 cm है। मिनट की सुई की नोक 1 घण्टे में कितनी दूरी तय करती है? (π = 3.14 लीजिए)

उत्तर- हम जानते हैं कि मिनट की सुई एक पूरे चक्कर | में एक घण्टा तय करती है।

∴ तय की गई दूरी = 15 cm वाले वृत्त की परिधि

= (2 × 3.14 × 15) cm

= 94.2 cm

प्रश्नावली 11.4 (पृष्ठ संख्या 243-244)

प्रश्न 1. एक बगीचा 90 m लम्बा और 75 m चौड़ा है। इसके बाहर, चारों ओर एक 5 m चौड़ा पथ बनाना है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। बगीचे का क्षेत्रफल हेक्टेयर में भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर- माना ABCD एक बगीचा है और PQRS पथ की बाहरी चारदीवारी है।

AB = 90 m

AD = 75 m

PQ = (90 + 5 + 5) m = 100 m

और QR = (75 + 5 + 5) = 85 m

अब, पथ का क्षेत्रफल = PQRS का क्षेत्रफल – ABCD का क्षेत्रफल

= (100 × 85 – 90 × 75) m²

= (8500 – 6750) m

= 1750 m2 उत्तर बगीचे का क्षेत्रफल

= ABCD का क्षेत्रफल

= (90 × 75) m²

= 6750 m²

=675010000 हेक्टेयर = 0.675 हेक्टेयर

प्रश्न 2. 125 m लम्बाई और 65 m चौड़ाई वाले एक आयताकार पार्क के चारों ओर बाहर 3 m चौड़ा एक पथ बना हुआ है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर- माना ABCD एक आयताकार पार्क है। PQRS बाहरी पथ की चारदीवारी है।

AB = 125 m, AD = 65 m

PQ = (125 + 3 + 3) m

= 131 m और QR = (65 + 3 + 3) m

= 71 m

पथ का क्षेत्रफल = PQRS का क्षेत्रफल – ABCD का क्षेत्रफल

= (131 × 71 – 125 × 65) m²

= (9301 – 8125) m² = 1176 m²

प्रश्न 3. 8 cm लम्बे और 5 cm चौड़े एक गत्ते पर | एक चित्र की पेंटिंग इस प्रकार बनाई गई है कि इसकी प्रत्येक भुजाओं के अनुदिश 1.5 cm चौड़ा हाशिया (margin) छोड़ा गया है। हाशिये का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर-

AB = 8 cm, BC = 5 cm

PQ = (8 – 1.5 – 1.5) cm = 5 cm

PS = (5 – 1.5 – 1.5) cm = 2 cm

हाशिये का क्षेत्रफल = ABCD का क्षेत्रफल – PQRS का क्षेत्रफल

= (8 × 5 – 5 × 2) cm²

= (40 – 10) cm2 = 30 cm²

प्रश्न 4. 5.5 m लम्बे और 4 m चौड़े कमरे के चारों ओर बाहर 2.25 m चौड़ा एक बरामदा बनाया गया है। ज्ञात कीजिए:

1. बरामदे का क्षेत्रफल
2. 200 रु. प्रति m’ की दर से बरामदे के फर्श पर सीमेंट कराने का व्यय।

उत्तर-

माना ABCD एक कमरा है और माना PORS बाहरी बरामदे की चार दीवारें हैं।

यहाँ, AB = 5.5 m

BC = 4 m

PQ = (5.5 + 2.25 + 2.25) m = 10 m

और QR = (4 + 2.25 + 2.25) m = 8.5 m

1. बरामदे का क्षेत्रफल = PQRS का क्षेत्रफल – ABCD का क्षेत्रफल

= (10 × 8.5 – 5.5 × 4) m²

= (85 – 22) m2 = 63 m²

2. 200 रु. प्रति मीटर की दर से बरामदे के फर्श पर सीमेन्ट कराने का व्यय

= (200 × 63) रु. = 12600 रु.

प्रश्न 5. 30 m भुजा वाले एक वर्गाकार बगीचे की परिसीमा से लगा भीतर की ओर 1 m चौड़ा पथ बना हुआ है। ज्ञात कीजिए:

1. पथ का क्षेत्रफल
2. 40 रु. प्रति m² की दर से बगीचे के शेष भाग पर घास लगवाने का व्यय।

उत्तर- माना ABCD वर्गाकार बगीचे की परिसीमा

PQRS भीतर के पथ की दीवार है।

1. यहाँ, AB = 30 m

और PQ = (30 – 1 – 1) m

= 28 m²

पथ का क्षेत्रफल = ABCD का क्षेत्रफल

– PQRS का क्षेत्रफल = (302 – 282) m

= (30 + 28) (30 – 28) m²

= (58 × 2) m² = 116 m²

2. बगीचे के शेष भाग का क्षेत्रफल

= PORS का क्षेत्रफल = (28 × 28) m² = 784 m²

40 रु. प्रति m² की दर से घास लगवाने का व्यय. = (40 × 784) रु. = 31,360 रु.

प्रश्न 6. 700 m लम्बे और 300 m चौड़े एक आयताकार पार्क के मध्य से होकर जाते 10 m चौड़े दो पथ बने हुए हैं जो एक-दूसरे पर परस्पर लम्ब और चौपड़ के आकार के हैं। इनमें से प्रत्येक पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा पार्क की भुजाओं को छोड़कर पार्क के शेष भाग का भी क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। उत्तर को हेक्टेयर में दीजिए।

उत्तर- माना ABCD और EFGH दो परस्पर पथ हैं।

AB = 700 m,

BC = 10 m

∴ ABCD का क्षेत्रफल

= (700 × 10) m

= 7000 m²

पुनः EF = 300 m

और FG = 10 m

∴ EFGH का क्षेत्रफल

= (300 × 10) m² = 3000 m²

यहाँ पथ PQRS दोनों पथों में उभयनिष्ठ है। PQRS का क्षेत्रफल

= (10 × 10) m² = 100 m²

पथों का कुल क्षेत्रफल = पथ ABC का क्षेत्रफल + पथ EFGH का क्षेत्रफल

– PQRS का क्षेत्रफल = (7000 + 3000 – 100) m²

=990010000 हेक्टेयर

= 0.99 हेक्टेयर

चौपड़ पथ को छोड़कर पार्क का. क्षेत्रफल = आयताकार पार्क का क्षेत्रफल – सड़कों का क्षेत्रफल

= (700 × 300 – 9900) m² = (210000 – 9900) m²

= 200100 m²

=20010010000 हेक्टेयर = 20.01 हेक्टेयर

प्रश्न 7. 90 m लम्बाई और 60 m चौड़ाई वाले एक आयताकार मैदान में दो पथ बनाए गए हैं, जो भुजाओं के समान्तर हैं, एक-दूसरे को लम्बवत् काटते हैं और मैदान के मध्य से होकर निकलते हैं। यदि प्रत्येक – पथ की चौड़ाई 3 m हो, तो ज्ञात कीजिए:

1. पथों द्वारा आच्छादित क्षेत्रफल
2. 110 रु. प्रति m² की दर से पथ बनाने का व्यय।

उत्तर-

1. माना ABCD और EFGH लम्बवत् पथ

AB = 90 m

और BC = 3 m

∴ ABCD पथ का क्षेत्रफल

= (90 × 3) m²

= 270 m²

पुनः EF = 60 m

और FG = 3 m

∴ EFGH पथ का क्षेत्रफल

= (60 × 3) m² = 180 m²

पथ PQRS दोनों पथों में उभयनिष्ठ है।

PQRS का क्षेत्रफल = (3 × 3) m² = 9 m²

∴ कुल क्षेत्रफल जो पथ के लिए है = ABCD पथ का क्षेत्रफल + पथ EFGH का क्षेत्रफल – PQRS का क्षेत्रफल

= (270 + 180 – 9) m²

= 441 m²

2. 110 रु. प्रति mकी दर से पथ बनाने का व्यय

= (110 × 441) रु. = 48510 रु.

प्रश्न 8. प्रज्ञा 4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार पाइप के चारों ओर एक रस्सी लपेटती है (जैसा दिखाया गया है) और रस्सी की आवश्यक लम्बाई को काट लेती है। इसके बाद वह उसे 4 cm भुजा वाले एक वर्गाकार बॉक्स के चारों ओर लपेटती है (दिखाया गया है)। क्या उसके पास कुछ और रस्सी बचेगी? (π = 3.14)

उत्तर- वृत्ताकार पाइप के चारों ओर लपेटी गई रस्सी की लम्बाई

= पाइप की परिधि

= (2 × 3.14 × 4) cm = 25.12 cm

वर्गाकार बॉक्स के चारों ओर लपेटी गई रस्सी की लम्बाई

= वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा = (4 × 4) cm = 16 cm

स्पष्ट है, 25.12 cm > 16 cm

हाँ, (25.12 – 16) cm = 9.12 cm रस्सी प्रज्ञा के पास बचती है।

प्रश्न 9. संलग्न आकृति, एक आयताकार पार्क के मध्य में एक वृत्ताकार फूलों की क्यारी को दर्शाती है। ज्ञात कीजिए:

1. पूरे पार्क का क्षेत्रफल
2. फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल
3. फूलों की क्यारी को छोड़कर, पार्क के शेष भाग का क्षेत्रफल
4. क्यारी की परिधि।

उत्तर-

1. पूरे पार्क का क्षेत्रफल

= (10 × 5) m² = 50 m²

2. फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल 2ur = (2 × 3.14 × 2) m²

= 12.56 m²

3. पार्क के शेष भाग का क्षेत्रफल

= (50 – 12.56) m²

= 37.44 m²

4. फूलों की क्यारी की परिधि

= (2 × 3.14 × 2) m

= 12.56 m

प्रश्न 10. दी गई आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

उत्तर-

1. छायांकित भाग DCEFD का क्षेत्रफल = आयत ABCD का क्षेत्रफल – ΔECB का क्षेत्रफल – ΔEAF का क्षेत्रफल

= AB × BC – 12 × EB : BC – 12 × AE × AF

= (18 × 10 – 12 × 8 × 10 – 12 × 10 × 6) cm²

= (180 – 40 – 30) cm²

= 110 cm²

2. छायांकित भाग TUQ का क्षेत्रफल = वर्ग PQRS का क्षेत्रफल – (ΔTSU) का क्षेत्रफल – (ΔURQ) का क्षेत्रफल – (ΔTPQ) का क्षेत्रफल

= PQ2 –12 × TS × SU –12 × UR × QR –12 × PQ × TP)

= 20 × 20 –12 × 10 × 10 –12 × 10 × 20 –12 × 20 × 10cm²

= (400 – 50 – 100 – 100) cm²

= (400 – 250) cm²

= 150 cm²

प्रश्न 11. चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यहाँ AC = 22 cm, BM = 3 cm, DN = 3 cm और BM ⊥ AC, DN ⊥ AC.

उत्तर- चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल

= (ΔABC) का क्षेत्रफल + (ΔACD) का क्षेत्रफल

= 12 × 22 × 3 ×12 × 22 × 3

= (33 + 33) cm²

= 66 cm²